万有引力公式总结

时间: 2022-10-30 20:52:42

(1)公式：$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \\ G为万有引力恒量：G = 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2 $

(2) $ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m{\omega^2}r =m\frac{4\pi^2}{T^2}r = ma = mg' $

推导：

$ ①中心天体的质量：M = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2} $

②行星或卫星做匀速圆周运动的线速度：$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $

③行星或卫星做匀速圆周运动的角速度 $ \omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} $

④行星或卫星做匀速圆周运动的周期：$ T = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}} $

⑤行星或卫星做匀速圆周运动的轨道半径： $ r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} $

⑥行星或卫星做匀速圆周运动的向心加速度： $ a = \frac{GM}{r^2} $

⑦地球或天体重力加速度随高度的变化：$ g'= \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{(R+h)^2} \\ 特别地，在天体或地球表面：g_0 = \frac{GM}{R^2} \quad g' = \frac{R^2}{(R+h)^2}g_0 $

⑧天体的平均密度： $ \rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi r^3}{GT^2R^3} \\ 特别地：当r=R时：\rho T^2 = \frac{3\pi}{G} $

⑨在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即 $ mg = G \frac{Mm}{R^2}，所以gR^2 = GM。 $ 在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示，此式在天体运动问题中经常应用，称为黄金代换式。

第一宇宙速度：第一宇宙速度在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度。也是人造卫星的最小发射速度。 $ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{gR} = 7.9km/s $

第二宇宙速度：$ v_2 = 11.2km/s $，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

第三宇宙速度：$ v_3 = 16.7km/s $，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

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